Question

9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AD⊥BC于D．将△ADC沿AD翻折至△ADC′，下列说法中正确的是①③④（写出所有正确命题的序号）
①AD⊥BC′；    
②BC′可能与平面△ADC′垂直；
③D-ABC′可能是正三棱锥；
④三棱锥D-ABC′体积的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 根据已知结合线面垂直的判定定理和性质，可判断①②；结合正三棱锥的定义，要判断③；求出三棱锥D-ABC′体积的最大值，可判断④．

解答 解：∵AD⊥BD，AD⊥C′D，BD，C′D?平面BC′D，C′D∩BD=D，
∴AD⊥平面BC′D，
又∵BC′?平面BC′D，
∴AD⊥BC′，故①正确；
在△BC′D中，BD=C′D，
故∠BC′D不可能为直角，
即BC′⊥C′D不成立，
故BC′不可能与平面△ADC′垂直；
故②错误；
当BD⊥C′D时，D-ABC′是正三棱锥，
故③正确；
当BD⊥C′D时，三棱锥D-ABC′体积的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故④正确；
故答案为：①③④．

点评 本题考查的知识点是棱锥的结构特征，线面垂直的判定与性质，难度中档．