Question

已知函数f(x)=ax+

1

ax

+b(a＞0)在点x=

1

2

时取得极值3．
（1）求a，b的值．
（2）函数f（x）单调区间．

Answer 1

分析：（1）由题意对函数求导，然后利用极值的概念列出a，b的方程，再求解即可得到a，b的值；
（2）由（1）知a=2，b=2，即可得到f′（x），分别令f′（x）＞0求出递增区间，令f′（x）＜0求出递减区间．．

解答：解：（1）由题意知

f( 1 2 )= 1 2 a+ 2 a +b=3 f′( 1 2 )=a- 4 a =0 a＞0

解得a=2，b=2，
故a的值为2，b的值为2；
（2）由（1）知，f(x)=2x+

1

2x

+2(x≠0)⇒f′(x)=2-

1

2x2

若

f′(x)=2- 1 2x2 ＞0 x≠0

，得f(x)单调递增区间为(-∞，-

1

2

)及(

1

2

，+∞)，
若

f′(x)=2- 1 2x2 ＜0 x≠0

，得f(x)单调递减区间为(-

1

2

，0)及(0，

1

2

)．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性．