Question

（2012•江苏三模）已知数列{a_n}满足a₁=2，且对任意n∈N^*，恒有na_n+1=2（n+1）a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设区间[

an

3n

，

an+1

3(n+1)

]中的整数个数为b_n，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由na_n+1=2（n+1）a_n，得

an+1

an

=

2(n+1)

n

，利用叠乘法，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）确定区间左右端点对应的通项，分n为奇数、偶数时讨论，即可求数列{b_n}的通项公式．

解答：解：（1）由na_n+1=2（n+1）a_n，得

an+1

an

=

2(n+1)

n

，当n≥2时，

an

an-1

=

2n

n-1

，
所以，当n≥2时，an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a2

a1

•a1=

2n

n-1

•

2(n-1)

n-2

•…

2•2

1

•2=n•2n，
此式对于n=1也成立，所以数列{a_n}的通项公式为an=n•2n．…（4分）
（2）由（1）知，

an

3n

=

2n

3

=

(3-1)n

3

=

C

0 n

3n-1-

C

1 n

3n-2+…+(-1)n-1

C

n-1 n

+

(-1)n

3

，

an+1

3(n+1)

=

2n+1

3

=

(3-1)n+1

3

=

C

0 n+1

3n-

C

1 n+1

3n-1+…+(-1)n

C

n n+1

+

(-1)n+1

3

，…（8分）
当n为奇数时，bn=(

2n+1

3

-

1

3

)-(

2n

3

+

1

3

)+1=

2n+1

3

；
当n为偶数时，bn=(

2n+1

3

+

1

3

-1)-(

2n

3

-

1

3

)=

2n-1

3

．…（10分）

点评：本题考查数列递推式，考查数列通项，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．