Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量

m

=(cos(A-B)，sin(A-B))，

n

=(cosB，-sinB)，

m

•

n

=-

3

5

（1）求sinA的值；
（2）若a=4

2

，b=5，求角B的大小及向量

BA

在

BC

方向上的投影．

Answer 1

分析：（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得

m

•

n

=cosA=-

3

5

，由同角三角函数的基本关系可得sinA；（2）由正弦定理可得sinB=

bsinA

a

，结合大边对大角可得B值，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．

解答：解：（1）由题意可得

m

•

n

=cos（A-B）cosB-sin（A-B）sinB
=cos[（A-B）+B]=cosA=-

3

5

，
∴sinA=

1-cos2A

=

4

5

；
（2）由正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

，
∴sinB=

bsinA

a

=

5× 4 5

4 2

=

2

2

，
∵a＞b，∴A＞B，∴B=

π

4

，
由余弦定理可得(4

2

)2=52+c2-2×5c×(-

3

5

)，
解得c=1，或c=-7（舍去），
故向量

BA

在

BC

方向上的投影为|

BA

|cosB=ccosB=1×

2

2

=

2

2

．

点评：本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．