题目内容

已知a，b，x，y∈R，证明：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2，并利用上述结论求（m2+4n2）（
1
m2
+
4
n2
）的最小值（其中m，n∈R且m≠0，n≠0）．
证明：∵b2x2+a2y2≥2abxy，
∴a2x2+b2y2+b2x2+a2y2≥a2x2+b2y2+2abxy，
即（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2成立．
由不等式（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2成立，
知（m2+4n2）（
1
m2
+
4
n2
）≥(m×
1
m
+2n×
2
n
)2=25
当且仅当m2=n2时，等号成立，
即（m2+4n2）（
1
m2
+
4
n2
）的最小值为25．
练习册系列答案
相关题目
已知a、b、x、y∈R+且
1
a
＞
1
b
，x＞y，求证：
x
x+a
＞
y
y+b
．
已知a、b、x、y都是正数，且x+y=1，比较
ax+by
与x
a
+y
b
的大小．
已知a，b，x，y均为正数，且a≠b．
（Ⅰ）求证：（
a2
x
+
b2
y
）（x+y）≥（a+b）2，并指出“=”成立的条件；
（Ⅱ）求函数f（x）=
3
x2
+
9
1-3x2
（0＜x＜
1
3
）的最小值，并指出取最小值时x的值．
（一）已知a，b，c∈R+，
①求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ac；
②若a+b+c=1，利用①的结论求ab+bc+ac的最大值．
（二）已知a，b，x，y∈R+，
①求证：
x2
a
+
y2
b
≥
(x+y)2
a+b
．
②利用①的结论求
1
2x
+
9
1-2x
(0＜x＜
1
2
)的最小值．
（1）已知a，b，x，y是正实数，求证：
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
，当且仅当
a
x
=
b
y
时等号成立；
（2）求函数f(x)=
1
3-tan2x
+
9
8+sec2x
的最小值，并指出取最小值时x的值．

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