Question

在数列{an}中，a1=1，an+1=1-

1

4an

，bn=

2

2an-1

，其中n∈N*．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设cn=

2

n+1

an，数列{c_nc_n+2}的前n项和为T_n，是否存在正整整m，使得Tn＜

1

cmcm+1

对于n∈N^*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）要证数列{b_n}是等差数列，只需证明b_n-1-b_n=2；（2）由cn=

2

n+1

an，可得cn=

1

n

从而利用裂项法求前n项和为T_n，进而利用最值思想解决恒成立问题．

解答：解：（1）证明：∵bn+1-bn=

2

2an+1-1

-

2

2an-1

=

2

2(1- 1 4an )-1

-

2

2an-1

=

4an

2an-1

-

2

2an-1

=2(n∈N*)
∴数列{b_n}是等差数列（3分）
∵a₁=1，∴b1=

2

2a1-1

=2
∴b_n=2+（n-1）×2=2n，由bn=

2

2an-1

得，2an-1=

2

bn

=

1

n

(n∈N*)
∴an=

n+1

2n

（2）cn=

2

n+1

an=

1

n

．

cncn+2= 1 n(n+2) = 1 2 ( 1 n - 1 n+2 ) Tn=c1c2+c2c4+c3c5+cncn+2 = 1 2 [( 1 1 - 1 3 )+( 1 2 - 1 4 )+( 1 3 - 1 5 )+( 1 4 - 1 6 )++( 1 n - 1 n+2 )]

=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

4

．（10分）
依题意要使Tn＜

1

cmcm+1

对于n∈N*恒成立，只需m(m+1)≥

3

4

，
解得m≤-

3

2

或m≥

1

2

．所以m的最小值为1（12分）

点评：本题主要考查等差数列的定义及通项公式的求解，考查裂项法求和及恒成立问题的处理 方法，综合性强．