Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，

且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．

（1）求A的大小；

（2）求sinB+sinC的最大值．

 

Answer 1

（1）A=120°；（2）当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1．

【解析】

试题分析：（1） 根据正弦定理，设＝2R，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a2=b2+c2+bc再与余弦定理联立方程，可求出cosA的值，进而求出A的值．

（2）根据（1）中A的值，可知c=60°-B，化简得sin（60°+B）根据三角函数的性质，得出最大值．

试题解析：（1）设=2R

则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC .2分

∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC

方程两边同乘以2R

∴2a2=（2b+c）b+（2c+b）c 2分

整理得a2=b2+c2+bc .1分

∵由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA 1分

故cosA=-，A=120° 2分

（2）由（1）得：sinB+sinC=sinB+sin（60°-B） 1分

= 2分

故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1 .1分

考点：余弦函数的应用．