Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，点（a_n，a_n+1）在直线y=2x+1上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足，求b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1的值；
（3）对于（2）中的数列{b_n}，求证：（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用点（a_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，可得a_n+1+1=2（a_n+1），从而可得{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，由此可求数列的通项公式；
（2）确定=+，即可求b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1的值；
（3）由（2）可知，（n≥2），b₂=a₂，证明…＜即可．
解答：（1）解：∵点（a_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∴{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴a_n=2ⁿ-1；
（2）解：
∴=+
∴b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1=0
n=1时，b₂a₁-（b₁+1）a₂=-3；
（3）证明：由（2）可知，（n≥2），b₂=a₂
∴…=…
=••…=2=2（+…+）
∵k≥2时，
∴+…+=+…+＜1+2[（）+…+（）]=1+2（）＜
∴…＜
∴．
点评：本题考查数列的通项，考查不等式的证明．考查学生分析解决问题的能力，考查裂项求和法，综合性强．