Question

【题目】已知椭圆 的中心在原点焦点在 轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点.

（1）求椭圆 的焦点；
（2）已知点 在椭圆 上，点 是椭圆 上不同于 的两个动点，且满足： ，试问：直线 的斜率是否为定值？请说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，∴设椭圆标准方程为 （a＞b＞0），
∵椭圆离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点．
焦点为(0,2 )，
∴b=2 …（1分）e= = ，a2﹣b2=c2 ，
∴解得a2=16，b2=12
∴椭圆C的标准方程
（2）解：直线 x=﹣2与椭圆 交点P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）或P（﹣2，﹣3），Q（﹣2，3），∴|PQ|=6，设A （x1 ， y1 ），B（ x2 ， y2），
当∠APQ=∠BPQ时直线PA，PB斜率之和为0．
设PA斜率为k，则PB斜率为﹣k．
当P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）时，
PA的直线方程为y﹣3=k（x+2）
与椭圆联立得（3+4k2）x2+8k（2k+3）x+4（2k+3）2﹣48=0
∴ = ;
同理
∴
, y1﹣y2=k（x1+2）+3﹣[﹣k（x2+2）+3]=
直线AB斜率为
【解析】(1)利用已知条件结合椭圆与抛物线的基本性质即可求出b的值，结合椭圆的离心率求出a的值进而求出椭圆的方程。(2)根据已知条件求出直线PA、PB的方程，联立直线与椭圆的方程消元结合韦达定理推导出 x1 + x2的代数式进而得出x1x2的表达式由此就能求出AB的斜率的值。