Question

已知关于x的方程4x²-2（m+1）x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m的值．

Answer 1

分析：解法一设出直角三角形的两个锐角，得到两个锐角之间的三角函数之间的关系，写出一元二次方程的判别式，根据判别式恒大于0，得到方程的根的情况，得到结果．
解法二根据两个根式锐角三角形的两个锐角，再表示出两个方程的根，得到锐角α的余弦值，进而得到结果．

解答：解：解法一：设直角三角形的两个锐角分别为α、β，则可得α+β=

π

2

∴cosα=sinβ---（2分）
∵方程4x²-2（m+1）x+m=0中，△=4（m+1）²-4•4m=4（m-1）²≥0
∴当m∈R，方程恒有两实根．
又∵cosα+cosβ=sinβ+cosβ=

m+1

2

，cosα•cosβ=sinβcosβ=

m

4

------（6分）
∴由以上两式及sin²β+cos²β=1，得1+2•

m

4

=（

m+1

2

）²解得m=±

3

------（8分）
当m=

3

时，cosα+cosβ=

3 +1

2

＞0，cosα•cosβ=

3

4

＞0，满足题意，
当m=-

3

时，cosα+cosβ=

1- 3

2

＜0，这与α、β是锐角矛盾，应舍去．
综上，m=

3

------（10分）
解法二：设直角三角形的两个锐角分别为α、β，则可得α+β=

π

2

∴cosα=sinβ---（2分）
方程4x²-2（m+1）x+m=0的两根为x=

1

2

或x=

m

2

----------（6分）
所以cosα=

1

2

，所以α=60⁰且β=30⁰----------（8分）
cosβ=cos30°=

m

2

，所以m=

3

----------（10分）．

点评：本题考查一元二次方程根与系数之间的关系即同角的三角函数之间的关系，本题解题的关键是利用两个锐角互余的关系来解题，本题是一个中档题目．