Question

选修4-5：不等式选讲：已知a＞0，b＞0．求证：(a+b+

1

a

)(a2+

1

b

+

1

a2

)≥9．

Answer 1

分析：由已知中a＞0，b＞0，由基本不等式我们可得a+b+

1

a

≥3

3	a•b• 1 a

=3

3	b

＞0，a2+

1

b

+

1

a2

≥3

3	1 b

＞0，进而由不等式的基本性质，可得结论．

解答：证明：因为a＞0，b＞0，所以a+b+

1

a

≥3

3	a•b• 1 a

=3

3	b

＞0．①…（4分）
同理可证a2+

1

b

+

1

a2

≥3

3	1 b

＞0．②…（6分）
由①，②结合不等式的性质得(a+b+

1

a

)(a2+

1

b

+

1

a2

)≥3

3	b

×3

3	1 b

=9．…（10分）

点评：本题考查的知识点是不等式的证明，基本不等式的用法，其中根据基本不等式分别求出不等号左边两个式子的范围，是解答本题的关键．