Question

20．已知定义域在R上的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x），在（0，+∞）上是增函数且f（x）＜0，则F（x）=$\frac{1}{f（x）}$在 （-∞，0）上是增函数还是减函数？证明你的结论．

Answer 1

分析 由f（-x）=-f（x）便知f（x）为奇函数，从而得到f（x）在（-∞，0）为减函数，且f（x）＞0，这样便能够判断出F（x）在（-∞，0）也为增函数，可利用单调性的定义进行证明：可设x₁＜x₂＜0，通过作商证明$\frac{F（{x}_{1}）}{F（{x}_{2}）}＞1$即可．

解答 解：根据条件知，f（x）为奇函数，在（-∞，0）上是增函数，且f（x）＞0；
∴可看出F（x）=$\frac{1}{f（x）}$在（-∞，0）为减函数，证明如下：
设x₁＜x₂＜0，则：
$\frac{F（{x}_{1}）}{F（{x}_{2}）}=\frac{f（{x}_{2}）}{f（{x}_{1}）}$；
∵f（x）在（-∞，0）上为增函数，且f（x）＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴$\frac{f（{x}_{2}）}{f（{x}_{1}）}＞1$；
∴$\frac{F（{x}_{1}）}{F（{x}_{2}）}＞1$，F（x₂）＞0；
∴F（x₁）＞F（x₂）；
∴F（x）在（-∞，0）为减函数．

点评 考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性特点，以及对称区间上的函数值的特点，根据奇函数的定义证明一函数为奇函数的方法，作商比较法的运用．