Question

【题目】已知椭圆的离心率为的四个顶点围成的四边形面积为．

（1）求的方程；

（2）过的右焦点，且斜率不为0的直线与交于两点，线段的垂直平分线经过点，求的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根据，得到，再由的四个顶点围成的四边形面积为，即，两式联立求解.

（2）由消去，得（*），利用韦达定理，得到线段的垂直平分线，将点代入解得，再利用弦长公式求得，然后求得点到直线AB的距离，代入三角形面积公式求解.

（1）由题意知，

所以，即，

又因为的四个顶点围成的四边形面积为，

所以，

解得，

所以的方程为．

（2）由（1）得，

设直线的斜率为，

的中点为，

由消去，得（*），

恒成立，，

所以，

所以线段的垂直平分线为，

将点代入得，解得，

所以把代入（*），得，

所以，

点到直线的距离，

所以．