Question

如图，AD是△ABC边BC上的高．
（1）若△ABC的面积S=，BD=4，DC=3，求AD的长；
（2）若△ABC另外两条边上的高BE，CF 与AD相交于点H，求证：AD平分∠EDF．

Answer 1

解：（1）若△ABC的面积S=，则A=90°，由射影定理可得 AD²=BD•CD=4×3=12，∴AD=2．
（2）∵△ABC另外两条边上的高BE，CF 与AD相交于点H，∴∠HDB=∠HFB=90°，故BDHF四点共圆，
∴∠FBH=∠FDH．
同理可得，∠ECH=∠EDH．
又∠FBH=90°-A，∠ECH=90°-A，∴∠FDH=∠EDH，即 AD平分∠EDF．
分析：（1）若△ABC的面积S=，则A=90°，由射影定理求得斜边上的高AD的值．
（2）先判断BDHF四点共圆，可得∠FBH=∠FDH．同理可得，∠ECH=∠EDH．再由∠FBH=90°-A，∠ECH=90°-A 可得∠FDH=∠EDH，从而得出结论．
点评：本题主要考查圆内接多边形的性质、解三角形，属于中档题．