Question

已知椭圆C的方程为：，其焦点在x轴上，离心率．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P（x，y）满足，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值．
（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据椭圆焦点在x轴上，离心率，即可求出椭圆的标准方程；
（2）假设M，N的坐标，利用向量条件寻找坐标之间的关系，结合点M，N在椭圆上，即可证明为定值；
（3）由（2）知点P是椭圆上的点，根据椭圆的定义可得该椭圆的左右焦点满足|PA|+|PB|为定值．
解答：（1）解：由，b²=2，解得，故椭圆的标准方程为．
（2）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则由，得（x，y）=（x₁，y₁）+2（x₂，y₂），
即x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，
∵点M，N在椭圆上，
∴
设k_OM，k_ON分别为直线OM，ON的斜率，由题意知，，
∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
故
=，
即（定值）
（3）证明：由（2）知点P是椭圆上的点，
∵，
∴该椭圆的左右焦点满足为定值，
因此存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值．
点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查向量知识的运用，考查存在性问题的探究，解题的关键是利用向量知识，将向量坐标化．