Question

在平面直角坐标系中圆心在直线y=x+4上，半径为2

2

的圆C经过原点O，
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）求过点（0.2）且被圆截得的弦长为4的直线方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知圆C的半径，设出圆心坐标为（a，b），写出圆C的标准方程，由圆心在直线y=x+4上，把圆心坐标代入直线方程，得到关于a与b的方程，再由圆C过原点，把原点坐标代入圆C方程，得到关于a与b的另一个方程，联立两方程可得出a与b的值，进而确定出圆C的方程；
（Ⅱ）分两种情况考虑：1′当所求直线的斜率存在时，设出所求直线的斜率为k，由直线过（0，2）和k，表示出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，同时由弦长和半径，利用垂径定理及勾股定理求出弦心距d，得出关于k的方程，发现此方程无解，故k不存在；2′当所求直线的斜率不存在时，经过验证，得到直线x=0满足条件，
综上，得到所求直线的方程为x=0．

解答：解：（Ⅰ）设圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
∵r=2

2

，∴圆C：（x-a）²+（y-b）²=8，（1分）
又圆心在直线y=x+4上，且圆C过原点O，
∴

b=a+4 a2+b2=8

，（3分）
解得：

a=-2 b=2

，（5分）
则所求圆的方程为：（x+2）²+（y-2）²=8；（6分）
（Ⅱ）分两种情况考虑：
1′当k存在时，设直线的方程为：y-2=kx，即kx-y+2=0，（7分）
∴圆心到直线的距离d=

|-2k-2+2|

k2+1

，（8分）
又r=2

2

，弦长为4，
∴r²=2²+d²，即d²=4，
解得：d=2，（9分）
∴

|-2k-2+2|

k2+1

=2，即|k|=

k2+1

，
此方程无解，故k不存在；（10分）
2′当k不存在时，经验证，直线方程为x=0，（11分）
综上，所求直线的方程为x=0．（12分）

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理，利用了分类讨论的思想，是高考中常考的题型．当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．