Question

5．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点（-1，$\frac{3}{2}$）在椭圆上，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范围；
（Ⅲ）若点B关于x轴的对称点是E，证明：直线AE过定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可知c=1，从而得a²=b²+1，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{9}{4}}{{b}^{2}}$=1，从而求得椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在，故设直线AB的方程为y=k（x-4）；与椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1联立化简可得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0；从而可解得k²＜$\frac{1}{4}$；再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；从而可得x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$；化简y₁y₂=k（x₁-4）k（x₂-4）=k²x₁x₂-4k²（x₁+x₂）+16k²，从而可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）$\frac{64{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$-4k²$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$+16k²=25-$\frac{87}{4{k}^{2}+3}$；从而求其取值范围；
（Ⅲ）可设E（x₂，-y₂）；从而写出直线AE的方程为y-y₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x₁），令y=0并化简可得x=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-8}$；再将x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$代入化简可得x=1；从而证明．

解答 解：（Ⅰ）由题意，c=1，
a²=b²+1，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{9}{4}}{{b}^{2}}$=1，
解得，a²=4，b²=3；
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y=k（x-4）；
与椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1联立化简可得，
（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0；
则令△=（-32k²）²-4（4k²+3）（64k²-12）＞0得，
k²＜$\frac{1}{4}$；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
则x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$；
则y₁y₂=k（x₁-4）k（x₂-4）=k²x₁x₂-4k²（x₁+x₂）+16k²，
则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）$\frac{64{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$-4k²$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$+16k²=25-$\frac{87}{4{k}^{2}+3}$；
∵0≤k²＜$\frac{1}{4}$，
∴-$\frac{87}{3}$≤-$\frac{87}{4{k}^{2}+3}$＜-$\frac{87}{4}$；
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$∈[-4，$\frac{13}{4}$）．
（Ⅲ）证明：∵点B关于x轴的对称点是E，
∴E（x₂，-y₂）；
直线AE的方程为
y-y₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x₁），
令y=0得，
x=x₁-$\frac{{y}_{1}（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-8}$；
将x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$代入化简可得，
x=1；
故直线AE与x轴交于定点（1，0）．
即直线AE过定点．

点评 本题考查了椭圆的方程的求法及学生的化简与运算能力，化简很复杂，属于难题．