Question

已知函数，．

（1）求的单调区间；

（2）若的最小值为0，回答下列问题：

（ⅰ）求实数的值；

…

（ⅱ）已知数列满足,，记[]表示不大于的最大整数，求，求．

Answer 1

解：（1）函数的定义域为，且．

当时，，所以在区间内单调递增；    

当时，由，解得；由，解得．

所以的单调递增区间为，单调递减区间为．

综上述：时，的单调递增区间是；

                时，的单调递减区间是，单调递增区间是．

（2）（ⅰ）由（1）知，当时，无最小值，不合题意；           

当时，        

令，则，

由，解得；由，解得．

所以的单调递增区间为，单调递减区间为．

故，即当且仅当x=1时，=0.

因此，．                    

（ⅱ）因为，所以.

由得于是．因为，所以.

猜想当，时，．     

下面用数学归纳法进行证明．

①当时，，故成立．    

②假设当 (，)时，不等式成立. 则当时，，

由（1）知函数在区间单调递增，

所以，又因为，．

故成立，即当时，不等式成立．

根据①②可知，当，时，不等式成立．  

…