Question

数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1+a_n=3•2ⁿ，则a₂₀₁₂=（　　）

A．4¹⁰⁰⁵

B．4¹⁰⁰⁵-4

C．2¹⁰⁰⁶

D．4¹⁰⁰⁶

Answer 1

分析：先算出a₂，a₃，猜想出通项公式a_n，再利用数学归纳法证明即可．

解答：解：∵an+1+an=3•2n，a₁=2，
∴a2+a1=3×21，解得a2=4=2n，
同理a3=23．
猜想an=2n．
下面用数学归纳法证明：数列{a_n}的通项公式an=2n．
（1）当n=1时，a1=21=1成立；
（2）假设当n=k∈N^*时，ak=2k．下面证明ak+1=2k+1．
∵ak+1+ak=3•2k，∴ak+1=3•2k-2k=2•2k=2k+1．
∴当n=k+1时命题也成立．
综上可知：an=2n．对于任意n∈N^*都成立．
∴a₂₀₁₂=2²⁰¹²=4¹⁰⁰⁶．
故选D．

点评：本题考查了数列的递推式和数学归纳法，属于难题．