Question

【题目】已知函数 (其中为自然对数的底数， )

(1) 设函数，讨论函数的零点个数；

(2) 若时，不等式恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1） 当时，零点个数为0； 当时，零点个数为1；当时，零点个数为2；（2）

【解析】试题分析： 要求的零点个数，转化为即 的解的个数，然后分类讨论（2）依据原函数的单调性转化为，然后分类讨论

解析：（1）由得

（*），问题等价于方程（*）解的个数，

方程（*）的判别式，因此：

当时，方程（*）无解，函数的零点个数为0；

当时，方程（*）有两个相等实数根，函数的零点个数为1；

当时，方程（*）有两个不相等实数根，函数的零点个数为2；

（2）由是单调递增函数，

所以可化为在时恒成立.

分情况讨论：

(1) 时， 在时取得最小值，由得；

(2) 时， 在时取得最小值，由得

，无解

综上所述： 的取值范围是