Question

16．已知a＞0，b＞0．
（I）若a+b=2，求$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{1+b}$的最小值；
（Ⅱ）求证：a²b²+a²+b²≥ab（a+b+1）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用乘1法，可得$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{1+b}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{1+b}$）（1+a+1+b），展开后运用基本不等式即可得到最小值；
（Ⅱ）运用均值不等式，结合累加法，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）由于a+b=2，
则$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{1+b}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{1+b}$）（1+a+1+b）
=$\frac{1}{4}$（5+$\frac{1+b}{1+a}$+$\frac{4（1+a）}{1+b}$）≥$\frac{1}{4}$（5+2$\sqrt{\frac{1+b}{1+a}•\frac{4+4a}{1+b}}$）=$\frac{9}{4}$
等号成立条件为$\frac{1+b}{1+a}$=$\frac{4（1+a）}{1+b}$，而a+b=2，所以a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{5}{3}$，
因此当a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{5}{3}$时，$\frac{1}{1+a}$+$\frac{4}{1+b}$取得最小值，且为$\frac{9}{4}$；
（Ⅱ）证明：由均值不等式得a²b²+a²≥2a²b，a²b²+b²≥2b²a，a²+b²≥2ab
三式相加得2a²b²+2a²+2b²≥2a²b+2ab²+2ab=2ab（a+b+1），
所以a²b²+a²+b²≥ab（a+b+1）．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值和证明不等式，注意运用乘1法和累加法是解题的关键．