Question

【题目】已知点，，椭圆C：（）的离心率为，过点且斜率为1的直线被椭圆C截得的线段长为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线不经过点，且与C相交于A，B两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）联立直线的方程和椭圆方程，由弦长公式，结合椭圆的离心率即可求得椭圆方程；

（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，根据韦达定理，结合直线与直线的斜率的和为，即可容易证明.

（1）由题意知，，则，

于是椭圆C的方程可化为，

直线的方程为，

联立得.

设，为两交点，

则，， 由得（*）

再由弦长公式得，

解得代入（*）成立，从而，

所以椭圆C的方程为.

（2）设直线与的斜率分别为，，

如果与x轴垂直，设：，

由题设知且，

可得A，B坐标分别为，，

则，得，

此时的方程为，与椭圆只有一个公共点，与题意不符.

从而可设：（）

将代入

得.

由题设可知，

设，则，

而

，

由题设知得，

即，

解得，代入，得，

此时，

所以过定点.