Question

如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀．每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1．两个2．两个3一共六个数字．质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前进两步（如由A到C），当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到D）．在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．
（1）求点P恰好返回到A点的概率；
（2）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量S表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求S的数学期望．

Answer 1

（Ⅰ）投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的，其概率为P1=

2

6

=

1

3

因为只投掷一次不可能返回到A点；
若投掷两次点P就恰能返回到A点，
则上底面出现的两个数字应依次为：
（1，3）．（3，1）．（2，2）三种结果，
其概率为P2=(

1

3

)2?3=

1

3

若投掷三次点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字应依次为：
（1，1，2）．（1，2，1）．（2，1，1）三种结果，其概率为P3=(

1

3

)3?3=

1

9

若投掷四次点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1）
其概率为P4=(

1

3

)4=

1

81

所以，点P恰好返回到A点的概率为P=P₂+P₃+P₄=

1

3

+

1

9

+

1

81

=

37

81

（Ⅱ）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种，
因为，P（ξ=2）=

3

7

，P（ξ=3）=

3

7

，P（ξ=4）=

1

7

所以，Eξ=2?

3

7

+3?

3

7

+4?

1

7

=

19

7