Question

如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进． 现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字． 质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前两步（如由A到C），当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到D）． 在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．
（1）求点P恰好返回到A点的概率；
（2）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（1）投掷一次正方体玩具，每个数字在上底面出现是等可能的，其概率为

1

3

．分①若投掷两次质点P就恰好能返回到A点、②若投掷三次质点P
恰能返回到A点、③若投掷四次质点P恰能返回到A点三种情况，分别求得它们的概率，再相加，即得所求．
（2）由（1）知，质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种情况，且ξ的可能取值为2，3，4．再求得ξ取每个值的概率，再由数学期望
的定义求得ξ的分布列及数学期望．

解答：解：（1）投掷一次正方体玩具，因每个数字在上底面出现是等可能的，故其概率P₁=

2

6

=

1

3

．
易知只投掷一次不可能返回到A点．
①若投掷两次质点P就恰好能返回到A点，则上底面出现的两个数字，
应依次为：（1，3）、（3，1）、（2，2）三种结果，其概率为P₂=（

1

3

）²×3=

1

3

．
②若投掷三次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字，
应依次为：（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三种结果，其概率为P₃=（

1

3

）³×3=

1

9

．
③若投掷四次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1），
其概率为P₄=(

1

3

)4=

1

81

．
所以，质点P恰好返回到A点的概率为：P=P2+P3+P4=

1

3

+

1

9

+

1

81

=

37

81

．
（2）由（1）知，质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种情况，
且ξ的可能取值为2，3，4．
则P（ξ=2）=

1 3

37 81

=

27

37

，P（ξ=3）=

1 9

37 81

=

9

37

，P（ξ=4）=

1 81

37 81

=

1

37

，故ξ的分布列为：

ξ	2	3	4
P	27 37	9 37	1 37

所以，Eξ=2×

27

37

+3×

9

37

+4×

1

37

=

85

37

．

点评：本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，求离散型随机变量的分布列、数学期望，属于中档题．