Question

1．已知函数f（x）=mx+$\frac{1}{x}$-2（m为参数）
（1）当m≠0时，求函数h（x）=xf（x）的单调减区间；
（2）若对任意x∈（0，1）恒有2^f（x）＞2，试确定参数m的范围．

Answer 1

分析 （1）当m≠0时，求函数h（x）=xf（x）的表达式，结合一元二次函数的性质即可求出函数的单调减区间；
（2）若对任意x∈（0，1）恒有2^f（x）＞2，等价为f（x）＞1恒成立，利用参数分离法即可试确定参数m的范围．

解答 解：（1）当m≠0时，函数h（x）=xf（x）=mx²-2x+1，（x≠0），
函数的对称轴为x=-$\frac{-2}{2m}$=$\frac{1}{m}$，
若m＞0，则$\frac{1}{m}$＞0，此时函数的单调递减区间为（-∞，0）和（0，$\frac{1}{m}$），
若m＜0，则$\frac{1}{m}$＜0，此时函数的单调递减区间为（-∞，$\frac{1}{m}$）．
（2）若对任意x∈（0，1）恒有2^f（x）＞2，
即f（x）＞1恒成立，
即mx+$\frac{1}{x}$-2＞1，
mx＞-$\frac{1}{x}$+3，
则m＞$-\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
设g（x）=$-\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
则g（x）=$-\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=-（$\frac{1}{x}$$-\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
∵x∈（0，1）∴$\frac{1}{x}$＞1，
令t=$\frac{1}{x}$，则t＞1．
则y=-（t$-\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$＜-（1$-\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$=0，
即g（x）＜0，
∴m≥0，
即参数m的范围是[0，+∞）．

点评 本题主要考查函数单调求解的求解，以及不等式恒成立问题，结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．