题目内容

（2013•乐山二模）过双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左焦点F的直线l与双曲线C的右支交于点P，与圆x2+y2=a2恰好切于线段FP的中点，则直线l的斜率为
1
2
1
2
．
分析：设双曲线的右焦点为F1，原点为O，线段FP的中点为M，由中位线的知识可知|PF1|=2|OM|=2a，由双曲线的定义可得：|PF|-|PF1|=2a，进而可得|PF|=4a，在直角三角形PFF1中可得∠PFF1的正切值，即为所求．
解答：解：设双曲线的右焦点为F1，原点为O，线段FP的中点为M，
则OM为△PFF1的中位线，|PF1|=2|OM|=2a，
由双曲线的定义可知：|PF|-|PF1|=2a，
所以|PF|=4a，因为OM⊥PF，所以PF1⊥PF，
所以tan∠PFF1=
2a
4a
=
1
2
，即直线l的斜率为
1
2

故答案为：
1
2
点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及直线的斜率的求解，属中档题．
练习册系列答案
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（2013•乐山二模）函数f（x）=Asin（ωx+?）（其中A＞0，|?|＜
π
2
）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（　　）
（2013•乐山二模）两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于aKm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为
3
a
3
a
km．
（2013•乐山二模）已知数列{an}有a1=a，a2=p（常数p＞0），对任意的正整数n，Sn=a1+a2+…+an，并有Sn满足Sn=
n(an-a1)
2
．
（I）试判断数列{an}是否是等差数列，若是，求其通项公式，若不是，说明理由；
（II）令Pn=
Sn+2
Sn+1
+
Sn+1
Sn+2
，Tn是数列{Pn}的前n项和，求证：Tn-2n＜3．
（2013•乐山二模）已知f(x)=-
4+
1
x2
，点Pn(an，-
1
an+1
)在曲线y=f（x）上（n∈N*）且a1=1，an＞0．
（Ⅰ）求证：数列{
1
a
2
n
}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
a
2
n
•
a
2
n+1
}的前n项和为Sn，若对于任意的n∈N*，存在正整数t，使得Sn＜t2-t-
1
2
恒成立，求最小正整数t的值．
（2013•乐山二模）如图，已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为（　　）

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