Question

已知函数f（x）=x³+2f′（x）x，x∈[-3，3]
（1）求f（x）的极值；
（2）讨论关于x的方程f（x）=m的实根个数．

Answer 1

分析：（1）求导数．利用导数求极值．（2）根据（1）求出函数f（x）的极值和最值即可．

解答：解：（1）函数的导数f'（x）=3x²+2f'（1），令x=1得，f'（1）=3+2f'（1），解得f'（1）=-3．
所以f(x)=x3-6x，f′(x)=3x2-6x=3(x-

2

)(x+

2

)．
列表：当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	-3	（-3，- 2 ）	- 2	（- 2 ， 2 ）	2	（ 2 ，3）	3
f'（x）		+		-		+
f（x）	-9	递增	4 2	递减	-4 2	递增	9

所以当x=-

2

时，取得极大值 f（x）=4

2

，当x=

2

时，取得极小值 f（x）=-4

2

．
（2）由（1）可以作出函数f（x）=x³-6x在[-3，3]上的大致图象如图：
当m∈（-∞，-9）∪（9，+∞）时，方程无实数根；
当m∈[-9，-4

2

）∪（4

2

，9]时，方程有一个实数根；
当m=-4

2

或m=4

2

时，方程有两个不等的实数根；
当m∈（-4

2

，4

2

）时，方程有三个不等的实数根．

点评：本题考查了利用导数研究函数的极值和最值，以及函数图象的交点个数问题，运算量较大．