题目内容
已知z1=x＋yi，
1=x-yi(x、y∈R),且x2＋y2=1，z2=(3＋4i)z1＋(3-4i)
1.(1)求证：z2∈R；
(2)求z2的最大值和最小值.
(1)证明:∵z1=x＋yi，1=x-yi(x，y∈R),
∴z1＋1=2x，z1-
1=2yi.
∵z2=(3＋4i)z1＋(3-4i)
1,
∴z2=3(z1＋
1)＋4i(z1-
1).
∴z2=6x＋8yi2=6x-8y∈R.
(2)解:∵x2＋y2=1,
设u=6x-8y，代入x2＋y2=1消去y得
64x2＋(6x-u)2=64.
∴100x2-12ux＋u2-64=0.
∵x∈R,∴Δ≥0.
∴144u2-4×100(u2-64)≥0.
∴u2-100≤0.
∴-10≤u≤10.
∴z2的最大值是10，最小值是-10.
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