Question

18．设a，b，c∈R⁺，求证：a^2ab^2bc^2c≥a^b+cb^a+cc^a+b．

Answer 1

分析 设a，b，c∈R⁺，且a≥b≥c，将原不等式作商，整理可得（$\frac{a}{b}$）^a-b•（$\frac{b}{c}$）^b-c•（$\frac{a}{c}$）^a-c．再由指数函数的单调性和不等式的性质即可得证．

解答 证明：设a，b，c∈R⁺，且a≥b≥c，
$\frac{{a}^{2a}{b}^{2b}{c}^{2c}}{{a}^{b+c}{b}^{a+c}{c}^{a+b}}$=（$\frac{a}{b}$）^a•（$\frac{b}{a}$）^b•（$\frac{b}{c}$）^b•（$\frac{c}{b}$）^c•（$\frac{a}{c}$）^a•（$\frac{c}{a}$）^c
=（$\frac{a}{b}$）^a-b•（$\frac{b}{c}$）^b-c•（$\frac{a}{c}$）^a-c．
由a≥b≥c＞0，
可得a-b≥0，b-c≥0，a-c≥0，
$\frac{a}{b}$≥1，$\frac{b}{c}$≥1，$\frac{a}{c}$≥1，
即有（$\frac{a}{b}$）^a-b≥1，（$\frac{b}{c}$）^b-c≥1，（$\frac{a}{c}$）^a-c≥1，
则有（$\frac{a}{b}$）^a-b•（$\frac{b}{c}$）^b-c•（$\frac{a}{c}$）^a-c≥1（当且仅当a=b=c取得等号），
则不等式a^2ab^2bc^2c≥a^b+cb^a+cc^a+b成立．

点评 本题考查不等式的证明，主要考查作商法证明不等式，同时考查指数函数的单调性的运用，属于中档题．