Question

已知a、b∈R⁺,n∈N^*,求证:(a+b)(aⁿ+bⁿ)≤2(aⁿ⁺¹+bⁿ⁺¹).

Answer 1

证明:(a+b)(aⁿ+bⁿ)-2(aⁿ⁺¹+bⁿ⁺¹)=aⁿ⁺¹+abⁿ+aⁿb+bⁿ⁺¹-2aⁿ⁺¹-2bⁿ⁺¹=aⁿ(b-a)+bⁿ(a-b)=(a-b)(bⁿ-aⁿ).

当a＞b＞0时,a-b＞0,bⁿ-aⁿ＜0,

则(a-b)(bⁿ-aⁿ)＜0,

此时(a+b)(aⁿ+bⁿ)＜2(aⁿ⁺¹+bⁿ⁺¹);

当b＞a＞0时,a-b＜0,bⁿ-aⁿ＞0,

则(a-b)(bⁿ-aⁿ)＜0,

此时(a+b)(aⁿ+bⁿ)＜2(aⁿ⁺¹+bⁿ⁺¹);

当a=b＞0时,a-b=0,

此时(a+b)(aⁿ+bⁿ)=2(aⁿ⁺¹+bⁿ⁺¹).

综上所述,原不等式成立.