Question

已知（

x

+

1

3 x

）ⁿ的展开式中第3项与第2项系数的比是4，
（1）求n的值；
（2）展开式里所有x的有理项．

Answer 1

分析：（1）利用二项式系数的性质可得

C

2 n

=4

C

1 n

，从而可求得n的值；
（2）利用二项展开式的通项公式T_r+1=

C

r 9

x

27-5r

6

（r=0，1，2，…，9），由x的幂指数

27-5r

6

∈Z即可求得r的值，从而可求得展开式里所有x的有理项．

解答：解：（1）由题设，得

C

2 n

=4

C

1 n

，…（3分）
即

n(n-1)

2

=4n，解得n=9，n=0（舍去）．…（4分）
（2）通项T_r+1=

C

r 9

(

x

)9-r(

1

3 x

)r=

C

r 9

x

27-5r

6

（r=0，1，2，…，9），
根据题意：

27-5r

6

∈Z，解得r=3或9         …（8分）
∴展开式里所有x的有理项为T₄=84x²，T₁₀=

1

x3

     …（10分）

点评：本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，考查分析与运算能力，属于中档题．