Question

12．已知a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{5}$，求下列各式的值：
（1）a+a^-1；
（2）a²+a^-2；
（3）a²-a^-2．

Answer 1

分析 （1）由a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{5}$，可得a+a^-1=$（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2．
（2）利用a²+a^-2=（a+a^-1）²-2，即可得出．
（3）利用（a-a^-1）²=a²+a^-2-2，可得a-a^-1．即可得出a²-a^-2=（a+a^-1）（a-a^-1）．

解答 解：（1）∵a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{5}$，∴a+a^-1=$（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2=$（\sqrt{5}）^{2}$-2=3．
（2）a²+a^-2=（a+a^-1）²-2=3²-2=7．
（3）∵（a-a^-1）²=a²+a^-2-2=7-2=5．
∴$a-{a}^{-1}=±\sqrt{5}$．
∴a²-a^-2=（a+a^-1）（a-a^-1）=$±3\sqrt{5}$．

点评 本题考查了乘法公式及其变形应用，考查了计算能力，属于中档题．