Question

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且bn=

lnnx

an2

，求证：对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有T_n＜2．

Answer 1

分析：（1）根据题意，可得2S_n=a_n+a_n²①与2Sn-1=an-1+an-1 2②成立，①-②得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，可以化简为a_n-a_n-1=1（n≥2），进而可得{a_n}是公差为1的等差数列，将n=1代入①中，可得a₁=1，由等差数列的通项公式，可得答案；
（2）由对数的性质，分析可得对任意x∈（1，e]，有0＜lnx＜1，而a_n=n，则总有bn=

lnnx

an2

≤

1

n2

，用放缩法，可得Tn≤

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜1+

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

(n-1)n

，由裂项相消法，对右式求和可得证明．

解答：解：（1）根据题意，对于任意n∈N*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列，则对于n∈N^*，总有2S_n=a_n+a_n²①成立
∴2Sn-1=an-1+an-1 2（n≥2）②
①-②得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，即a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）；
∵a_n，a_n-1均为正数，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2）
∴数列{a_n}是公差为1的等差数列，
又n=1时，2S₁=a₁+a₁²，解得a₁=1
∴a_n=n．（n∈N^*）
（2）证明：由（1）的结论，a_n=n；对任意实数x∈（1，e]，有0＜lnx＜1，
对于任意正整数n，总有bn=

lnnx

an2

≤

1

n2

．
∴Tn≤

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜1+

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

(n-1)n

=1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

＜2
对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有T_n＜2

点评：本题考查数列与不等式，类似（2）的证明不等式的问题，一般用放缩法，使用时，注意适当放缩，否则不会得到证明．