Question

已知函数f（x）=lnx+x²．
（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）-ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a＞1，h（x）=e^3x-3ae^xx∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；
（Ⅲ）设F（x）=2f（x）-3x²-kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x=m+n．问：函数F（x）在点（x，F（x））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根据题意写出：g（x）再求导数，由题意知，g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即由此即可求得实数a的取值范围；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用换元法令t=e^x，则t∈[1，2]，则h（t）=t³-3at，接下来利用导数研究此函数的单调性，从而得出h（x）的极小值；
（Ⅲ）对于能否问题，可先假设能，即设F（x）在（x，F（x））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx-x²-kx结合题意，列出方程组，证得函数在（0，1）上单调递增，最后出现矛盾，说明假设不成立，即切线不能否平行于x轴．
解答：解：（Ⅰ）g（x）=f（x）-ax=lnx+x²-ax，
由题意知，g′（x）≥0，对任意的x∈（0，+∞）恒成立，即
又∵x＞0，，当且仅当时等号成立
∴，可得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令t=e^x，则t∈[1，2]，则
h（t）=t³-3at，
由h′（t）=0，得或（舍去），
∵，∴
若，则h′（t）＜0，h（t）单调递减；若，则h′（t）＞0，h（t）单调递增
∴当时，h（t）取得极小值，极小值为
（Ⅲ）设F（x）在（x，F（x））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx-x²-kx
结合题意，有
①-②得
所以，由④得
所以
设，⑤式变为
设，
所以函数在（0，1）上单调递增，
因此，y＜y|_u=1=0，即，也就是此式与⑤矛盾
所以F（x）在（x，F（x））的切线不能平行于x轴
点评：此题是个难题．本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，根据解题要求选择是否分离变量，体现了转化的思想和分类讨论以及数形结合的思想方法，同时考查了学生的灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．