Question

已知定义在R上的函数f（x），满足f(x)+(x+

1

2

)f(1-x)=1，则f（x）的解析式=

2 1-2x ，x≠ 1 2 1 2 ，x= 1 2

．

Answer 1

分析：由f(x)+(x+

1

2

)f(1-x)=1可得f（1-x）+（

3

2

-x）f（x）=1即f（1-x）=1-（

3

2

-x）f（x），联立消去f（1-x）可求f（x）

解答：解：∵f(x)+(x+

1

2

)f(1-x)=1①
∴f（1-x）+（

3

2

-x）f（x）=1即f（1-x）=1-（

3

2

-x）f（x）②
②代入①可得f（x）+（x+

1

2

）（

3

2

-x）f（x）
整理可得(

1

2

-x)2f(x)=

1

2

-x
①当x=

1

2

时，f（x）=

1

2

②当x≠

1

2

时，f（x）=

1

1 2 -x

=

2

1-2x

综上可得，f（x）=

2 1-2x ，x≠ 1 2 1 2 ，x= 1 2

故答案为f（x）=

2 1-2x ，x≠ 1 2 1 2 ，x= 1 2

点评：本题主要考查了利用消去法求解函数的函数解析式，解题的关键是由已知以1-x替换x．