Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1．应用空间向量方法求：
（1）求A₁B和B₁C的夹角
（2）求证：A₁B⊥AC₁．

Answer 1

分析：（1）以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，标出所用点的坐标，
求出向量

A1B

和

B1C

的坐标，然后利用向量

A1B

和

B1C

的夹角求解A₁B和B₁C的夹角；
（2）求出

A1B

和

AC1

的坐标，由两向量的数量积等于0证明A₁B⊥AC₁．

解答：（1）解：如图，
分别以DA，DC，DD₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A₁（1，0，1），B（1，1，0），B₁（1，1，1），C（0，1，0），A（1，0，0），C₁（0，1，1）．
由

A1B

=(0，1，-1)，

B1C

=(-1，0，-1)，
∴

A1B

•

B1C

=0×(-1)+1×0+(-1)×(-1)=1．
∴cos＜

A1B

，

B1C

＞=

A1B • B1C

| A1B |•| B1C |

=

1

2 • 2

=

1

2

．
则A₁B和B₁C的夹角为

π

3

；
（2）证明：∵

A1B

=(0，1，-1)，

AC1

=(-1，1，1)，
∴

A1B

•

AC1

=0×(-1)+1×1+(-1)×1=0．
∴A₁B⊥AC₁．

点评：本题考查了异面直线所成的角，考查了面面垂直的性质，训练了利用空间向量求解线线角，属中档题．