Question

在圆x²+y²-2x+6y=0内，过点E（0，-1）的最长弦和最短弦分别为AB和CD，则
（Ⅰ）AB的长为

2

10

；
（Ⅱ）CD的长为

2

5

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把圆的方程化为标准方程后，求出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AB；
（Ⅱ）最短的弦为过E与直径AB垂直的弦CD，根据两点间的距离公式求出弦心距，结合半径根据勾股定理CD．

解答：解：（Ⅰ）把圆的方程化为标准方程得：（x-1）²+（y+3）²=10，
则圆心坐标为（1，-3），半径为

10

，
根据题意画出图象，如图所示：
由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AB垂直的弦，
则AB=2

10

，
（Ⅱ）MB=

10

，弦心距ME=

(1-0)2+(-3+1)2

=

5

，
所以CD=2BE=2

( 10 )2-( 5 )2

=2

5

，
故答案为：（1）2

10

；（2）2

5

．

点评：此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．考查计算能力．