Question

点P（x，y）在圆x²+y²-2x-2y+1=0上，则

y+1

x+1

的最小值为

1

3

．

Answer 1

分析：由

y+1

x+1

=

y-(-1)

x-(-1)

表示圆上任一点（x，y）与（-1，-1）确定的直线的斜率，故过A的直线与圆B相切时，切点为C，即圆B上的点C与A确定的直线斜率最小，设出直线AC的斜率为k，由A的坐标和k表示出直线AC的方程，根据圆心B到直线AC的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即为AC的斜率，即为所求式子的最小值．

解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x-1）²+（y-1）²=1，
可得圆心坐标为（1，1），半径r=1，

由

y+1

x+1

=

y-(-1)

x-(-1)

，得到此式子表示圆上任一点（x，y）与（-1，-1）确定的直线的斜率，
当过A的直线与圆B相切时，切点为点C，设直线AC的斜率为k，
∴直线AC的方程为：y+1=k（x+1），即kx-y+k-1=0，
∴圆心B（1，1）到直线AC的距离d=r，即

|2k-2|

k2+1

=1，
解得：k=

1

3

或k=3（舍去），
∴此时直线AC的斜率范围为[

1

3

，3]，
则

y+1

x+1

的最小值

1

3

．
故答案为：

1

3

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中得出所求式子表示圆上任一点（x，y）与（-1，-1）确定的直线的斜率是解本题的关键．