Question

【题目】已知函数（，，为自然对数的底数），若对于恒成立．

（1）求实数的值；

（2）证明：存在唯一极大值点，且．

Answer 1

【答案】(1);(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）对函数f(x)提取公因式，可知只需，而，所以是的一个极小值点，可解得。（2）由（1）知，，．令，则，由单调性及，，知在上存在，满足,可知在上只有一个极小值点0，存在唯一的极大值点，且．再由隐零点回代可证得不等式成立。

试题解析：（1）由，可得，

因为，所以，

从而是的一个极小值点，

由于，所以，即．

当时，，，

∵时，，在上单调递减，

时，，在上单调递增；

∴，故．

（2）当时，，．

令，则，

∵时，，在上为减函数；

时，，在上为增函数，

由于，，所以在上存在满足，

∵在上为减函数，

∴时，，即，在上为增函数，

时，，即，在上为减函数，

时，，即，在上为减函数，

时，，即，在上为增函数，

因此在上只有一个极小值点0，

综上可知，存在唯一的极大值点，且．

∵，∴，

所以，，

∵时，，∴；

∵，∴；

综上知：．