已知椭圆的右焦点为.短轴的端点分别为,且.(1)求椭圆的方程,(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点.弦的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为.试求的取值范围．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知椭圆的右焦点为，短轴的端点分别为,且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的直线交椭圆于两点，弦的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为，试求的取值范围．

（1）；（2）

解析试题分析：（1）由椭圆的右焦点，即.又短轴的端点分别为,且，即可求出，的值.从而得到椭圆的方程.
（2）由（1）可得假设直线AB的方程联立椭圆方程消去y即可得到一个关于x的二次方程，由韦达定理得到根与直线斜率k的关系式.写出线段AB的中点坐标以及线段AB的垂直平分线的方程.即可得到点D的坐标.即可求得线段PD的长，根据弦长公式可得线段MN的长度，再通过最的求法即可得结论.
试题解析：（1）依题意不妨设，，则，.
由，得.
又因为，
解得.
所以椭圆的方程为.
（2）依题意直线的方程为.
由得.
设，，则，.
所以弦的中点为
.
所以

.
直线的方程为，
由，得，则，
所以.
所以.
又因为，所以.
所以.
所以的取值范围是.
考点：1.向量的数量积.2.椭圆的性质.3.等价转化的数学思想.4.运算能力.

练习册系列答案

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在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设A，B是椭圆C上的两点，△AOB的面积为.若A、B两点关于x轴对称，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.如果＝t，求实数t的值．

已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点到的距离等于焦距.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，，是否存在直线，使得△与△的面积比值为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

已知顶点为原点的抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,与在第一和第四象限的交点分别为.
(1)若是边长为的正三角形，求抛物线的方程；
(2)若，求椭圆的离心率.

已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且，求的值.

（本小题满分15分）
已知椭圆C：＋＝1的离心率为，左焦点为F(－1，0)，
(1) 设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线L与椭圆C交于M，N两点，若，求直线L的方程；
(2)椭圆C上是否存在三点P，E，G，使得S_△_OPE＝S_△_OPG＝S_△_OEG＝？

我们将不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点称为切点．解决下列问题：
已知抛物线上的点到焦点的距离等于4，直线与抛物线相交于不同的两点、，且（为定值）．设线段的中点为，与直线平行的抛物线的切点为．.

（1）求出抛物线方程，并写出焦点坐标、准线方程；
（2）用、表示出点、点的坐标，并证明垂直于轴；
（3）求的面积，证明的面积与、无关，只与有关.