题目内容

设首项为的正项数列的前项和为,为非零常数,已知对任意正整数,总成立.

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）若不等的正整数成等差数列，试比较与的大小；

（Ⅲ）若不等的正整数成等比数列，试比较与的大小.

Ⅰ)证:因为对任意正整数，总成立,

令，得,则…………………………………………(1分)

令，得  (1) , 从而   (2),

－(1)得：,……(3分)

综上得,所以数列是等比数列…………………………(4分)

（Ⅱ）正整数成等差数列，则,所以,

则…………………………………………(7分)

①当时，………………………………………………(8分)

②当时，……(9分)

③当时，………(10分)

（Ⅲ）正整数成等比数列，则,则,

所以

分

当,即时，

………………………………………(14分)

②当,即时，…………………(15分)

③当,即时，…………………(16分)

练习册系列答案
相关题目
设数列{an}是首项为4，公差为1的等差数列，Sn为数列{bn}的前n项和，且Sn=n2+2n．
（1）求数列{an}及{bn}的通项公式an和bn；
（2）f(n)=
n+3，n为正奇数
2n+1，n为正偶数
问是否存在k∈N*使f（k+27）=4f（k）成立．若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（3）对任意的正整数n，不等式
a
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)
-
1
n-1+an+1
≤0恒成立，求正数a的取值范围．
（2013•松江区二模）已知数列{an}(n∈N*)的前n项和为Sn，数列{
Sn
n
}是首项为0，公差为
1
2
的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
4
15
•(-2)an(n∈N*)，对任意的正整数k，将集合{b2k-1，b2k，b2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为dk，求dk；
（3）对（2）题中的dk，设A（1，5d1），B（2，5d2），动点M，N满足
MN
=
AB
，点N的轨迹是函数y=g（x）的图象，其中g（x）是以3为周期的周期函数，且当x∈（0，3]时，g（x）=lgx，动点M的轨迹是函数f（x）的图象，求f（x）．
（2013•松江区二模）已知数列{an}(n∈N*)的前n项和为Sn，数列{
Sn
n
}是首项为0，公差为
1
2
的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
4
15
•(-2)an(n∈N*)，对任意的正整数k，将集合{b2k-1，b2k，b2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为dk，求证：数列{dk}为等比数列；
（3）对（2）题中的dk，求集合{x|dk＜x＜dk+1，x∈Z}的元素个数．

     已知等差数列{an}的首项为a．设数列的前n项和为Sn ，且对任意正整数n都有．

(1)求数列{an}的通项公式及Sn ；

(2)是否存在正整数n和k，使得Sn , Sn+1 , Sn+k 成等比数列？若存在，求出n和k的值；若不存在，请说明理由．

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