题目内容

18．如图，三棱锥A-BCD中，已知：AB=AC=CD=DB=$\sqrt{3}$，BC=AD=2，求证：面ABC⊥面BCD．

分析 取BC的中点E，利用面面垂直的判定定理，证明AE⊥平面BCD，即可．

解答 证明：取BC的中点E，连结AE，DE，
∵AB=AC=CD=DB=$\sqrt{3}$，
∴AE⊥BC，DE⊥BC，
∵BC=AD=2，
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$，
即AE2+DE2=AD2，
∴AE⊥DE，
∵CE∩DE=E，
∴AE⊥平面BCD，
∵AE?平面ABC，
∴面ABC⊥面BCD

点评 本题主要考查空间面面垂直的判定，利用三角形的边长关系证明AE⊥平面BCD是解决本题的关键．

练习册系列答案
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8．如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积为（　　）
A．2B．6C．2（$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$）D．2（$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$）+2
9．已知椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F2的坐标为（c，0），若b=c，且点（c，1）在椭圆Γ上．
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）当k≠0时，若直线l1：y=k（x+$\sqrt{2}$）与椭圆r的交点为A，B；直线l2：y=k（$\sqrt{2}$x+1）与圆E：x2+y2=1的交点为M，N，记△AOB和△MON的面积分别为S1，S2，其中O为坐标原点，证明$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$为定值，并求出该定值．
6．已知平面内一封闭曲线C上的任意点M与两定点O（0，0），P（0，3）的距离之比为2．
（1）求封闭曲线C的方程；
（2）过曲线上的一点N作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B．切线NA，NB分别交x轴于D，E两点．问：
①若N的坐标为（$\sqrt{3}$，5），求|DE|的长度；
②是否存在这样点N，使得线段DE被曲线C在点N处的切线平分？若存在，求出点N的纵坐标，若不存在，说明理由．
13．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过其右焦点F与长轴垂直的直线被椭圆C截得的弦长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆C的一个动点，直线l：y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．
3．已知函数f（x）=ln（ax+1）（x≥0，a＞0），g（x）=$\frac{x-2}{x+2}$．
（1）讨论函数y=f（x）-g（x）的单调性；
（2）若不等式f（x）≥g（x）+1在x∈[0，+∞）时恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=1时，证明：$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$$＜\frac{1}{2}$f（n）（n∈N*）．
10．已知函数f（x）=（x-a）lnx-x
（1）若f（x）为增函数，求a的取值范围；
（2）当a=0时，证明：f（x）≥x（e-x-1）-2e-1．
7．某高中从学生体能测试结果中随机抽取100名学生的测试结果，按体重（单位：kg）分组，得到的频率分布表如表所示．
组号分组频数频率
第1组[50，55）50.050
第2组[55，60）①0.350
第3组[60，65）30②
第4组[65，70）200.200
第5组[70，75]100.100
合计1001.000
（Ⅰ）请求出频率分布表中①、②位置相应的数据；
（Ⅱ）从第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进行第二次测试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二次测试？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，在6名学生中随机抽取2名学生由李老师进行测试，求第4组至少有一名学生被李老师测试的概率？频率分布表．
8．已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|（x∈R）．求f（x）的最小值．

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