Question

若数列{a_n}的前n项和为s_n，且满足a_n+2s_ns_n-1=0（n≥2），a₁=1
（1）求证：{

1

sn

}成等差数列
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）利用a_n=s_n-s_n-1，将a_n+2s_ns_n-1=0变形为s_n-s_n-1+2s_ns_n-1=0．再两边除以2s_ns_n-1，并移向得出

1

sn

-

1

sn-1

=2(n≥2)，从而证出{

1

sn

}成等差数列．
（2）由（1）求出数列{

1

sn

}的通项公式，再求出S_n，最后利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

求出数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）∵a_n=s_n-s_n-1，a_n+2s_ns_n-1=0（n≥2），
∴s_n-s_n-1+2s_ns_n-1=0．两边除以2s_ns_n-1，并移向得出

1

sn

-

1

sn-1

=2(n≥2)，
∴

1

sn

-

1

sn-1

=2(n≥2)
∴{

1

sn

}是等差数列，公差d=2．
（2）由（1）{

1

sn

}是以

1

s1

=

1

a1

=1为首项，以2为公差的等差数列
∴

1

sn

=1+2(n-1)=2n-1，故sn=

1

2n-1

．
∴当n≥2时，an=sn-sn-1=

1

2n-1

-

1

2n-3

=-

2

(2n-1)(2n-3)

当n=1时，a₁=1不符合上式
所以an=

1，n=1 - 2 (2n-1)(2n-3) ，n≥2

．

点评：本题考查数列性质的判断，通项公式求解．考查an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

的应用．属于中档题．