Question

如图，在四面体ABCO中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1．
（1）设P是AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ，证明：PQ⊥OA；
（2）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）过O点在平面AOB内作OE⊥OA，分别以OA、OE、OC为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设Q（x，y，0），由

AB

=3

AQ

可求得点Q的坐标，通过计算可证明

OA

•

PQ

=0，由此可得结论；
（2）转化为求两平面的法向量夹角即可，易知面OAC的法向量为

n1

=(0，1，0)，设面ABC的法向量为

n2

=(x1，y1，z1)，由

n2

•

AC

=0，

n2

•

AB

=0，可得

n2

，利用向量夹角公式可得二面角的余弦值，注意二面角为锐二面角；

解答：（1）证明：过O点在平面AOB内作OE⊥OA，分别以OA、OE、OC为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
则O（0，0，0），C（0，0，1），A（1，0，0），P(

1

2

，0，

1

2

)，B(-

1

2

，

3

2

，0)，
设Q（x，y，0），由

AB

=3

AQ

，得（-

3

2

，

3

2

，0）=3（x-1，y，0），
∴x=

1

2

，y=

3

6

，∴Q(

1

2

，

3

6

，0)，
由

OA

=(1，0，0)，

PQ

=(0，

3

6

，-

1

2

)⇒

OA

•

PQ

=0，
∴OA⊥PQ．
（2）依题意有：面OAC的法向量为

n1

=(0，1，0)，

AC

=(-1，0，1)，

AB

=(-

3

2

，

3

2

，0)，
设面ABC的法向量为

n2

=(x1，y1，z1)，
由

AC

•

n2

=0⇒-x 1+z1=0⇒z1=x1，

AB

•

n2

=0⇒-

3

2

x 1+

3

2

y1=0⇒y1=

3

x1，
∴

n2

=(x1，

3

x1，x1)=x1(1，

3

，1)，
∴cosθ=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

3

5

=

15

5

，
∵二面角O-AC-B的平面角是锐角，
∴二面角O-AC-B的平面角的余弦值为

15

5

．

点评：本题考查利用空间向量判断直线垂直、求解二面角的大小，考查空间想象能力、推理论证能力，属中档题．