Question

抛物线C的顶点在原点，焦点F与双曲线=1的右焦点重合，过点P（2，0）且斜率为1的直线l与抛物线C交于A、B两点．
（1）求弦长|AB|；
（2）求弦AB中点到抛物线准线的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得F（3，0），从而可得抛物线的方程，及过点P得直线方程，联立方程可得x²-16x+4=0
AB=，根据方程的根与系数的关系代入即可求解
（2）设AB得中点为M（x，y），分别过点AMB做准线的垂线，垂足分别为A′，M′，B′，由梯形得性质可得，=（x₁+3+x₂+3）×，结合（1）可求
解答：解：（1）由题意可得双曲线的右焦点（3，0），故F（3，0）
∴抛物线的方程为y²=12x，过点P得直线方程为y=x-2
联立方程可得x²-16x+4=0设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
则x₁+x₂=16，x₁x₂=4
AB==
（2）设AB得中点为M（x，y）
分别过点AMB做准线的垂线，垂足分别为A′，M′，B′，
则由梯形得性质可得，=（x₁+3+x₂+3）×=
点评：本题考查了由抛物线的性质求解抛物线的方程，关键是看清题中给出的条件，灵活运用方程的根与系数的关系及弦长公式AB=进行求解．