题目内容

设a＞0且a≠1，f(x)=loga(x+
x2-1
)（x≥1）
（1）求函数f（x）的反函数f-1（x）及其定义域．（2）若f-1(n)＜
3n+3-n
2
(n∈N*)，求a的取值范围．
解（Ⅰ）∵f(x)=loga(x+
x2-1
)（x≥1），∴ay=x+ 
x2-1
(x≥1)，∴
x2-1
=ay-x，∴a2y-2ayx+1=0，（x≥1），∴x=
a2y+1
2ay
=
ay+a-y
2
，互换x，y得f-1(x)=
ax+a-x
2
．
当a＞1时，定义域为[0，+∞）
当0＜a＜1时，定义域为（-∞，0]
（Ⅱ）f-1(n)＜
3n+3-n
2
(n∈N*)
即
an+a-n
2
＜
3n+3-n
2

即（an-3n）[（3a）n-1]＜0
即
an-3n＜0
(3a)n-1＞0

∴
1
3
＜a＜3
练习册系列答案
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设a＞0且a≠1，f（x）=-x2+ax，对x∈(-
1
2
，
1
2
)均有f（x）＞0，则a∈
 
．
设a＞0且a≠1，f(x)=loga(x+
x2-1
)（x≥1）
（1）求函数f（x）的反函数f-1（x）及其定义域．（2）若f-1(n)＜
3n+3-n
2
(n∈N*)，求a的取值范围．
已知奇函数f（x），偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=ax（a＞0且a≠1）．
（1）求证：f（2x）=2f（x）g（x）；
（2）设f（x）的反函数f-1(x)，当a=
2
-1时，比较f-1[g（x）]与-1的大小，证明你的结论；
（3）若a＞1，n∈N*，且n≥2，比较f（n）与nf（1）的大小，并证明你的结论．
（2011•嘉定区三模）已知k∈R，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，函数f（x）=ax+k•bx．
（1）如果实数a、b满足a＞1，ab=1，试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）设a＞1＞b＞0，k≤0，判断函数f（x）在R上的单调性并加以证明；
（3）若a=2，b=
12
，且k＞0，问函数f（x）的图象是不是轴对称图形？如果是，求出函数f（x）图象的对称轴；如果不是，请说明理由．
已知奇函数f（x），偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=ax（a＞0且a≠1）．
（1）求证：f（2x）=2f（x）g（x）；
（2）设f（x）的反函数时，比较f-1[g（x）]与-1的大小，证明你的结论；
（3）若a＞1，n∈N*，且n≥2，比较f（n）与nf（1）的大小，并证明你的结论．

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