Question

（2011•顺义区一模）已知函数f(x)=2sinxcosx+2

3

sin2x-

3

，（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的最大值，并指出取最大值时的x值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简f（x）为2sin(2x-

π

3

)，由此求出周期．
（Ⅱ）由于当2x-

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z时，f（x）取得最大值，从而得到结论．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2sinxcosx+2

3

sin2x-

3

=sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)，----（4分）
∴周期T=π．----（6分）
（Ⅱ）根据f（x）=2sin(2x-

π

3

)，可得当2x-

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x=kπ+

5π

12

时，----（10分）
f（x）_max=2．----（13分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域及周期性，属于中档题．