Question

某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）、凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管、考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm，②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面．
（1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45°，确定节点O分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；
（2）若凳面是顶角为120°的等腰三角形，腰长为24cm，节点O分细钢管上下两段之比为2：3、确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm）．

Answer 1

分析：（1）设△ABC的重心为H，连接OH，根据∠OBH就是OB与平面ABC所成的角，建立BH与OH的等量关系，解之即可；
（2）设∠B=120°，△ABC的重心为H，求出OH，分别在Rt△AHO，Rt△CHO，Rt△BHO中求出OA、OB、OC，再根据比例关系求出所求即可．

解答：解：（1）设△ABC的重心为H，连接OH
由题意可得，BH=

20 3

3

设细钢管上下两段之比为λ
已知凳子高度为30、则OH=

30λ

1+λ

∵节点O与凳面三角形ABC重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行
∴∠OBH就是OB与平面ABC所成的角，亦即∠OBH=45°
∵BH=OH，∴

30λ

1+λ

=

20 3

3

解得λ=

2 3

9-2 3

≈0.63
即节点O分细钢管上下两段的比值约为0.63

（2）设∠B=120°，∴AB=BC=24，AC=24

3

设△ABC的重心为H，则BH=8，AH=8

7

，
由节点O分细钢管上下两段之比为2：3，可知OH=12
设过点A、B、C的细钢管分别为AA'、BB'、CC'，
则AA′=CC′=

5

2

OA=

5

2

OH2+AH2

=10

37

≈60.8，
BB′=

5

2

OB=

5

2

OH2+BH2

=10

13

≈36.1，
∴对应于A、B、C三点的三根细钢管长度分别为60.8cm，36.1cm和60.8cm

点评：本题主要考查了直线与平面所成的角，以及三角形重心的应用，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．