题目内容

函数在上有定义,若对任意,有

则称在上具有性质.设在[1,3]上具有性质,现给出如下题:①在上的图像时连续不断的;   ②在上具有性质;

③若在处取得最大值,则;④对任意,有

其中真命题的序号（　　）

A．①②               B．①③           C．②④           D．②③④

 

【答案】

D

【解析】①可以不连续，只要满足图像是向下凸的特征即可。

②正确。由Ｐ性质的定义可知[1,3]具有性质Ｐ，则在此子区间上也应具有此性质．

③正确.f(x)在x=2处取得最大值1，故对任意x1,x2属于[1,3]，

有,所以对任意，有，

而,故f(x)=1，.

④令

,

 

练习册系列答案
相关题目
设函数F（x）和f（x）都在区间D上有定义，若对D的任意子区间[u，v]，总有[u，v]上的实数p和q，使得不等式f（p）≤
F(u)-F(v)u-v
≤f（q）成立，则称F（x）是f（x）在区间D上的甲函数，f（x）是F（x）在区间D上的乙函数．已知F（x）=x2-3x，x∈R，那么F（x）的乙函数f（x）=
 
．
（2012•福建）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有f(
x1+x2
2
) ≤
1
2
[f(x1) +f(x2) ]则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：
①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
②f（x2）在[1，
3
]上具有性质P；
③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有f(
x1+x2+x3+x4
4
) ≤
1
4
[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]
其中真命题的序号是（　　）
（2013•韶关一模）设f（x）在区间I上有定义，若对?x1，x2∈I，都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
，则称f（x）是区间I的向上凸函数；若对?x1，x2∈I，都有f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
，则称f（x）是区间I的向下凸函数，有下列四个判断：
①若f（x）是区间I的向上凸函数，则-f（x）在区间I的向下凸函数；
②若f（x）和g（x）都是区间I的向上凸函数，则f（x）+g（x）是区间I的向上凸函数；
③若f（x）在区间I的向下凸函数，且f（x）≠0，则
1
f(x)
是区间I的向上凸函数；
④若f（x）是区间I的向上凸函数，?x1，x2，x3，x4∈I，则有f（
x1+x2+x3+x4
4
）≥
f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)
4

其中正确的结论个数是（　　）
（1）如果两个实数u＜v，求证：2u＜
v2-u2
v-u
＜2v．
（2）定义  设函数F（x）和f（x）都在区间I上有定义，若对I的任意子区间[u，v]，总有[u，v]上的p和q，使有不等式f(p)≤
F(u)-F(v)
u-v
≤f(q)成立，则称F（x）是f（x）在区间I上的甲函数，f（x）是F（x）在区间I上的乙函数．
请根据乙函数定义证明：在（0，+∞）上，函数g(x)=
1
2
x
是f(x)=
x
的乙函数．

设函数和都在区间上有定义，若对的任意子区间，总有上的实数和，使得不等式成立，则称是在区间上的甲函数，是在区间上的乙函数．已知，那么的乙函数_____________

 

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