Question

3．设f（x）和g（x）是定义在R上的两个函数，x₁，x₂是任意两个不相等的实数．
（1）设|f（x₁）+f（x₂）|≥|g（x₁）+g（x₂）|恒成立，且f（x）是奇函数，试判断函数g（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）设|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|恒成立，且f（x）是R上的增函数，试判断函数h（x）=f（x）+g（x）在R上的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）利用|f（x₁）+f（x₂）|≥|g（x₁）+g（x₂）|恒成立，设x₂=-x₁，|f（x₁）+f（-x₁）|≥|g（x₁）+g（-x₁）|恒成立，根据f（x）是奇函数，即可得出结论；
（2）利用函数单调性的定义，即可得出结论．

解答 解：（1）∵|f（x₁）+f（x₂）|≥|g（x₁）+g（x₂）|恒成立，
∴x₂=-x₁，|f（x₁）+f（-x₁）|≥|g（x₁）+g（-x₁）|恒成立，
∵f（x）是奇函数，
∴|f（x₁）-f（x₁）|≥|g（x₁）+g（-x₁）|恒成立，
∴g（x₁）+g（-x₁）=0，
∴g（-x₁）=-g（x₁），
∴g（x）是奇函数；
（2）设x₁＜x₂，
∵f（x）是R上的增函数，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∵|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|恒成立，
∴f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）＜f（x₂）-f（x₁），
∴h（x₁）-h（x₂）=f（x₁）-f（x₂）+g（x₁）-g（x₂）＜f（x₁）-f（x₂）+f（x₂）-f（x₁），
∴h（x₁）-h（x₂）＜0，
∴函数h（x）=f（x）+g（x）在R上是增函数．

点评 本题考查函数的单调性、奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，正确运用函数的单调性、奇偶性的定义是关键．